| |
Вывод формулы Эрланга
Рассмотрим систему, которая может обслуживать одновременно m требований. Будем считать, что имеется m линий и очередное требование поступает на одну из линий, если хотя бы одна из них свободна; в противном случае поступающее требование получает отказ и уходит из сферы обслуживания.
Предположим, что поток требований является пуассоновским с параметром  , требования обслуживаются независимо и время обслуживания каждого требования (на каждой из m линий) распределено по показательному закону с параметром  .
Рассмотрим состояния k=0,1,…,m, где состояние k означает, что занято ровно k линий.
Переход системы из состояния в состояние с течением времени t представляет собой марковский процесс, плотности перехода которого имеют вид
Действительно, переход из k в k+1 осуществляется при поступлении очередного требования, что происходит за время  с вероятностью  .
Вероятность того, что ни одна из k занятых линий не освободится за время , есть  (поскольку линии обслуживаются независимо одна от другой) и вероятность освобождения одной из линий, т.е. перехода из состояния k в k-1 есть  .
Вероятность других изменений в системе за промежуток времени есть  .
Стационарные вероятности  могут быть найдены из уравнений:
Из этих уравнений получаем, что
Найденные выражения для стационарных вероятностей называются формулами Эрланга.
Дополнительную информацию по данной теме можно получить в книге Ю.А. Розанова Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика: Учебник для вузов. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 320 с.
| |