| |
Полиномиальное (мультиномиальное) распределение в теории выборочных распределений
Содержание
Биномиальное, триномиальное и мультиномиальное (порядка m) распределения
1) Биномиальное распределение
Простым испытанием Бернулли считается статистический эксперимент, в котором возможны два исхода А1 и А2 (часто называемые успехом и неудачей).
Это распределение возникло из наблюдения за бросанием монеты – мы не знаем точно, на какую сторону выпадет монета, и приписываем появлению герба вероятность р1, а вероятность появления решки р2 = 1 - р1
В общем случае испытания Бернулли обозначим вероятность события А1 через р1 : Р(А1)=р1, вероятность события А2 через р2: Р(А2)=р2, где р1+р2=1
Предположим, мы бросаем монету n раз, пусть R1 число выпадений гербов (появлений событий А1).
Это дискретная случайная величина, имеющая биномиальное распределение Bin(n;p1):
 (0)
 есть биномиальный коэффициент (число сочетаний из n по r).
Иногда формулу (0) записывают в виде:
 (1)
Иной способ введения биномиального распределения см. в статье.
2) Триномиальное распределение
Триномиальное распределение обобщает биномиальное.
Если в биномиальном распределении имеется 2 исхода, то в триномиальном распределении мы имеем 3 исхода.
Очевидно, что при испытаниях, для которых возможны три исхода А1, А2 и А3 с
Совместное распределение R1 и R2 полного числа появлений событий А1 и А2 при n независимых испытаниях дается формулой:
 (2)
Аналогичная формула имеет место для вероятностей  ,  .
Сравните формулу триномиального распределения с формулой для биномиального распределения.
3) Полиномиальное (мультиномиальное) распределение (порядка m)
Полиномиальное распределение обобщает биномиальное распределение.
Предположим, что существует m возможных исходов испытания, назовем их A1, A2,…, Am, и пусть
P(As)=ps, s=1,2,…,m.
Причем р1+р2+…рm=1.
Представьте, что вы бросаете не монету, а игральную кость или кубик с цифрами, тогда вы легко поймете, как возникает полиномиальное распределение.
Пусть Rj обозначает полное число появлений исхода Aj в n независимых испытаниях, j=1,2,…,m.
Тогда совместное распределение R1,…,Rm-1 будет иметь вид
 (3)
Это дает
Р(R1=r1, R2=r2,…, Rm-1=rm-1) при rm=1-r1-r2-…-rm-1
или
P(R1=r1, R2=r2,…,Rm-2=rm-2, Rm=rm)
с
rm-1=1-r1-r2-…-rm-2-rm и т.д.
Таким образом, (3) задает вид распределения вероятностей любых m-1 из m случайных переменных R1, R2,…, Rm, для которых R1+R2+…+Rm=n.
Оно называется полиномиальным или мультиномиальным (от слова мульти- много) распределением (порядка m) с индексом n и вероятностями исходов p1, p2,…, pm.
Полиномиальное распределение с m=2 – биномиальное, с m=3 – триномиальное и т.д.
Сравните формулу полиномиального распределения с формулой для биномиального распределения.
Полиномиальное распределение возникает во многих задачах, например, при анализе анкетных данных, данных массовых опросов и тд.
Другой подход к определению полиномиального распределения дан в статье.
Таблицы частот
Примером полиномиального распределения является совместное выборочное распределение частот (столбиков гистограммы).
Предположим, что выборка из n наблюдений над непрерывной случайной переменной представлена в виде таблицы частот следующим образом:
Номер ячейки |
1 |
2 |
... |
k |
Частота |
f1 |
f2 |
… |
fk |
Границы ячеек не обязательно должны быть равноотстоящими; если наибольшее и наименьшее наблюдения равняются d’ и d’’, то ячейками могли бы стать интервалы (aj, aj+1), j=1,2,…k-1, значений х для любого разбиения
Наблюдаемое значение х располагается в ячейке с номером j, если
Отсюда следует, что совместное выборочное распределение частот f1, f2,…, fk – полиномиальное порядка k с индексом n и параметрами вероятности р1, р2, …, рk:
 (2)
Аналогичные рассуждения применимы, когда случайная переменная Х дискретная.
2. Свойства полиномиального распределения
А) Первые моменты. Математические ожидания:
Дисперсии:
Ковариации:
Б) Маргинальные распределения. Все маргинальные распределения также являются полиномиальными: в частности, маргинальное распределение Rj является биномиальным с параметрами (nj, pj), j=1,2,…,m; совместное маргинальное распределение Rj и Rk является триномиальным с параметрами (n; pj, pk),  и т.д.
3. Полиномиальное распределение как условное от совместного распределения независимых пуассоновских переменных
В выборочной теории иногда оказывается полезным следующий результат.
Предположим, что Х1, Х2,…,Хk – независимые пуассоновские переменные с параметрами  соответственно.
Тогда распределение переменных X1+…+Xk – пуассоновское с параметром  , а условное распределение Х1, Х2,…,Хk при фиксированной сумме X1+…+Xk=х имеет вид
 .
В тривиальном случае, когда  , эта вероятность равняется нулю, но когда  , она совпадает с (3).
Это показывает, что условное распределение – полиномиальное порядка k с индексом x и параметрами вероятности р1,р2,…,рk, где 
| |