Математические основы выборочного контроля качества

Распределение показателей качества по количественному признаку (общий обзор)

Качество продукции оценивается при помощи тех или иных показателей. Показатели качества или признаки качества могут быть количественными или качественными.

Количественный признак (атрибут) выражается численным значением, например, диаметр поршневого кольца, толщина стального или алюминиевого листа, диаметр трубы, радиус кривизны и т.д.

Если партия продукции состоит из единиц продукции (например, из изделий), то в каждой единице продукции количественный признак качества принимает некоторое случайное значение, т.е. является случайной величиной и имеет некоторое распределение.

Распределение показателей качества по качественному признаку

Качественный признак показывает, является единица продукции годной или дефектной (да-нет). Качественный признак может отражать также число дефектов в единице продукции, например, на определённой площади стального листа.

Различают выборочный и сплошной контроль изделий. При выборочном контроле по качественному признаку в выборку из партии попадает некоторое случайное число дефектных единиц продукции. Оцениваются вероятности попадания в выборку того или иного количества дефектных единиц продукции. Далее делается обоснованное заключение о числе дефектных изделий во всей партии.

Пусть партия состоит из N изделий, D из которых бракованные.  Если взять из партии случайную бесповторную выборку (какую обычно и берут в производстве) объёмом n, то вероятность того, что в выборке ровно m бракованных изделий, равна:

 ,

где 

Совокупность этих вероятностей для m=0,1,2,3,…,n при заданных N, D, n описывается гипергеометрическим распределением.

Величина P(m) может быть легко рассчитана в STATISTICA.

При очень больших значениях параметров расчёт гипергеометрического распределения может оказаться затруднительным даже при использовании компьютера.

Если n ≤ 0,1N, то гипергеометрическое распределение можно приближённо заменить биномиальным (которое имеет место при повторной случайной выборке), расчёты которого более просты.

Формула биномиального распределения:

,
где q=D/N – доля дефектных изделий в партии.

Если q ≤ 0,1 и n ≤ 0,1N, что обычно и имеет место в практике статистического контроля, то биномиальное распределение, как и гипергеометрическое, можно приближённо заменить ещё более простым для расчётов распределением Пуассона, в котором:

, 

где λ = nq – математическое ожидание числа дефектных изделий в выборке.

Среднее ожидаемое численное значение, в нашем случае – параметр λ, т.е. математическое ожидание числа дефектных изделий в выборке.

Анализ точности технологического процесса

Статистическое регулирование технологического процесса предполагает проведение предварительного анализа стабильности и точности. Стабильность можно оценить путём построения и анализа гистограмм и контрольных карт.

Для оценки точности технологического процесса (при нормальном распределении показателя качества) находят вероятную долю дефектной продукции q и коэффициент точности К_Т, а также оценивают параметры распределения – математическое ожидание μ и стандартное отклонение σ (сигма).

Для этого берут выборку объёмом обычно не менее 100. Целесообразно отбирать единицы продукции не подряд, а, например, каждую пятую, десятую и т.п., что позволит более правильно оценить состояние технологического процесса.

При правильной настройке технологического процесса математическое ожидание должно соответствовать середине поля допуска, задаваемого (обычно в нормативно-технической документации на продукцию) верхней и нижней границами Т_в и Т_н. В этом случае μ = μ₀.

При отклонении μ от μ₀ увеличивается доля дефектной продукции. Увеличение среднего квадратичного отклонения приводит к большему рассеянию показателя качества, вследствие чего также увеличивается доля дефектной продукции. 

Вероятную долю дефектной продукции q (или вероятную долю годной продукции p = 1-q) можно рассчитать, исходя из свойств интегральной функции распределения, в соответствии с которыми:

P(x<Т_н) = F(Т_н)  и

P(Т_н<x<Т_в) = F(Т_в)-F(Т_н)

Если для продукции задан только нижний допуск, то дефектной будет продукция, у которой  показатель качества х<T_н и, следовательно, q = F(T_н).

Если для продукции задан только верхний допуск, то дефектной будет продукция, у которой  показатель качества х>T_в и, следовательно,

p = F(T_в)

q =1 - F(T_в)

Если для продукции заданы верхний и нижний допуски, то дефектной будет продукция, у которой  показатель качества Т_н< х <T_в и, следовательно,

p = F(T_в) - F(T_н)

q =1 + F(T_н) - F(T_в)

Коэффициент точности технологического процесса К_Т позволяет количественно оценить точность технологического процесса.

,     где допуск Т= T_в- T_н,  S – выборочное стандартное отклонение.

При К_Т ≤ 0,75  технологический процесс достаточно точный.

При К_Т = 0,76…0,98 технологический процесс требует внимательного наблюдения.

При К_Т > 0,98 точность неудовлетворительная.

Оперативная характеристика одноступенчатого плана контроля по альтернативному признаку

При выборочном приёмочном контроле по результатам контроля выборок принимается решение принять или отклонить партию продукции. При этом в случае контроля по альтернативному признаку единицы продукции делятся на годные и дефектные, а партия, поступающая на контроль, имеет входной уровень дефектности q.

Входной уровень дефектности  - это доля дефектных единиц продукции, которая заранее неизвестна, и её надо оценить по результатам контроля. Обычно при выборочном контроле партии разделяют на хорошие и плохие с помощью двух чисел – AQL (приёмочный уровень дефектности) и LQ (браковочный уровень дефектности).

Партии считаются хорошими при q ≤ AQL и плохими при q ≥ LQ. При AQL < q < LQ качество партии считается ещё допустимым.

Приёмочный уровень дефектности AQL – это предельно допустимое значение уровня дефектности в партии, изготовленной при нормальном ходе производства. Браковочный уровень качества LQ – это граница для отнесения продукции к браку.

При выборочном контроле по альтернативному признаку план контроля включает значения объёма выборки n и приёмочного числа c. Партия принимается, если число дефектных единиц продукции в выборке m ≤ c.

Оперативной характеристикой плана контроля называется функция P(q), равная вероятности принять партию с долей дефектных единиц продукции q.

,

где P_n(m) – вероятность появления m дефектных единиц продукции в выборке объёмом n.

Чаще всего оперативная характеристика отображается в виде графика.

P(q) = 1 - α при q = AQL

P(q) = β при q = LQ

Здесь α - риск поставщика, равный вероятности забраковать партию с q = AQL, β - риск потребителя, равный вероятности принять партию с q = LQ.

При выборочном контроле по результатам проверки выборки обычно принимают одно из следующих решений:

1. Принять непроконтролированную (оставшуюся) часть партии без дальнейшего контроля.
2. Отвергнуть оставшуюся часть партии без дальнейшего контроля.
3. Провести сплошной контроль оставшейся части партии.

Например, в случае одноступенчатого контроля возможные типы планов можно обозначить так: (nc)₁₂, (nc)₁₃, (nc)₂₃. Если, допустим, при плане (nc)₁₂ окажется, что в выборке m ≤ c, принимается решение 1. Если же m>c, принимается решение 2. Ранее рассматривались именно планы типа (nc)12.

Рассмотрим план (nc)₁₃, когда отклонённые партии подвергаются сплошному контролю, т.е. контролируются оставшиеся (N-n) изделий, а выявленные дефектные изделия заменяют годными.

Пусть на контроль поступают партии изделий с постоянным уровнем дефектности q. Тогда партии принимаются с вероятностью P(q), и уровень дефектности в принятых партиях равен: .

Партии отклоняются и подвергаются сплошному контролю с вероятностью 1 – P(q). Уровень дефектности в этих партиях равен 0. Тогда средний выходной уровень дефектности AOQ равен:

Поскольку AOQ = 0 при q = 0 и при q = 1, то внутри интервала 0 ≤ q ≤ 1 имеется некоторое максимальное значение AOQ.  Этот максимальный для заданного плана контроля средний уровень дефектности называют пределом среднего выходного уровня дефектности AOQL.

При использовании плана (nc)₁₃ число проконтролированных в партии изделий есть случайная величина, принимающая значение n с вероятностью P(q), и значение N с вероятностью 1-P(q).

Поэтому среднее число проконтролированных изделий в партии

n_cp= n*P(q) + N*(1-P(q))

При налаженном производстве партий одинакового объёма N количество дефектных изделий в i-й партии D_i является случайной величиной. Последовательность чисел D_i имеет интегральную функцию распределения^

Для получения оценок распределения F_N(D), а также среднего входного уровня дефектности q_cp , обычно используют информацию, накапливаемую в процессе проведения контроля, а на начальных этапах организации контроля с этой целью проводят сплошной контроль определённого числа партий.

Оперативная характеристика и другие числовые характеристики двухступенчатого плана контроля по альтернативному признаку

Двухступенчатый контроль по альтернативному признаку проводится по следующей схеме. Берётся случайная выборка объёмом n₁.

Если число бракованных единиц продукции в ней m₁ не больше приёмочного числа c₁ (m₁ ≤ c₁), то партию принимают.

Если m₁ ≥ d₁, партию отклоняют (d₁ – браковочное число для первой выборки). Если c₁ < m₁ < d₁, берут вторую выборку объёмом n₂.

Если по результатам контроля второй выборки (m₁ + m₂) ≤ c₂, партию принимают, иначе – отклоняют. Здесь, m₂ – количество бракованных единиц продукции во второй выборке, с₂ – приёмочное число для второй выборки.

Используется также понятие браковочного числа для второй выборки d₂ = c₂ + 1.

Отклонённые партии либо бракуются, либо подвергают сплошному контролю.

Оперативная характеристика двухступенчатого плана контроля имеет вид:

,

где           - вероятность принятия партии по первой выборке,

-   вероятность перехода ко второй выборке,

• вероятность принятия партии по второй выборке.

Если в соответствии с планом контроля отклонённые партии бракуются, математическое ожидание числа проверенных изделий в партии определяется по уравнению:

Если же отклонённые партии изделий подвергаются сплошному контролю, то партия объёмом N может быть принята либо по результатам первой выборки, и тогда в ней будет проконтролировано n₁ изделий, либо на основании двух выборок, и тогда в ней будет проконтролировано n₁+n₂ изделий.

В противном случае партия отклоняется, все N изделий проверяются, а обнаруженные дефектные изделия заменяются годными.

Математическое ожидание числа проконтролированных в партии изделий будет равно:

.

Более подробно ознакомиться с теорией и практикой статистических методов в контроле качества вы можете на промышленных курсах Академии анализа данных StatSoft (отзывы слушателей).

© Copyright StatSoft, Inc., 1984-2001
STATISTICA является торговой маркой StatSoft, Inc.