Вводный обзор - Регрессия поверхности отклика

Регрессия поверхности отклика

Планы регрессии квадратичной поверхности отклика - это смешанный тип плана со свойствами планов полиномиальной регрессии и дробных факторных регрессионных планов. Планы регрессии квадратичной поверхности отклика содержат все эффекты из планов полиномиальной регрессии вплоть до 2 степени, а также 2-факторные взаимодействия предикторов. Уравнение регрессии для плана регрессии квадратичной поверхности отклика с 3 непрерывными предикторами P, Q и R будет иметь вид

Y = b0 + b1P + b2P2 + b3Q + b4Q2 + b5R + b6R2 + b7P*Q + b8P*R + b9Q*R

Эти типы планов имеют широкое применение в прикладных задачах (например, в промышленных задачах).

Пример 1: Анализ регрессии поверхности отклика.

Box, Hunter и Hunter (1978, Глава 15) сообщают об изучении продуктов реакции химического процесса. Здесь имеются два интересующих фактора: температура (переменная Degrees) и время Time, в течении которого химические вещества вступают в реакцию. Т.к. не ожидается простой линейной взаимосвязи между этими факторами и продуктами реакции, то будет использоваться план поверхности отклика. Файл данных Composit.sta содержит данные эксперимента (см. Box, Hunter и Hunter, 1978).

План, описанный в Box, Hunter и Hunter (1978), является стандартным 2х факторным планом поверхности отклика. Сначала мы выполним анализ, используя модель главных эффектов и критерий неадекватности модели.

Т.к. план включает одну дополнительную центральную точку на блок, мы можем оценить чистую ошибку и проверить на общую неадекватность. В центральных композитных планах, когда некоторые точки (предпочтительно центральные точки) продублированы, то можно оценить случайную изменчивость измерения (надежность) для зависимой переменной по изменчивости измерений, взятых в этих одинаковых точках плана. Это позволяет проверить остаточную изменчивость (которая не объясняется факторами и их взаимодействиями) на статистическую значимость. Если критерий показал статистическую значимость, то это указывает на то, что текущая модель неадекватна.

Критерии неадекватности требуют вычисления чистой ошибки, которая не объяснена моделью. Т.к. обычный план поверхности отклика включает дополнительно к главным эффектам еще несколько терминов, то мы можем изменить спецификации анализа.

Просмотр результатов.

Критерии неадекватности.

Рисунок 1. Результаты критерия неадекватности линейной модели.

Критерий неадекватности маргинально значим (p<10), указывая на то, что возможно простая линейная модель главных эффектов является слишком простой.

Теперь модифицируем анализ, зададим полный план поверхности квадратичного отклика.

Рисунок 2. Результаты критерия неадекватности квадратичного отклика.

Критерий неадекватности для этого плана не является значимым (p = .42).

Коэффициенты регрессии.

Рисунок 3. Коэффициенты регрессии.

Как видно из Таблицы, коэффициенты для каждого эффекта за исключением Block значимы.

Пример 2: Анализ регрессии отклика.

Обзор. Этот пример описывает, как отображать на графике предсказанные отклики и желательность откликов с помощью Профилей отклика желательности. Процедуры, используемые в процессе изложения, как правило, включают два шага: (1) предсказание откликов на зависимую, или Y переменные, с помощью подгонки наблюдаемых характеристик продукта с использованием уравнения, основанного на уровнях независимых, или X переменных, и (2) нахождение уровней переменных X, которые одновременно дают наиболее желательные предсказанные отклики переменных Y. Derringer и Suich (1980) предложили в качестве примера этих процедур задачу нахождения состава ткани, наиболее устойчивой к истиранию. В этом примере даны 4 переменные Y: PICO показатель истирания, 200 - процентный модуль, продолжительность воздействия и плотность. Характеристики продукта в терминах переменных отклика зависят от состава, переменных X: hydrated silica level - доля гидрата кварца, silane coupling level - доля соединения силана и sulfur - сера. Задача состоит в нахождении уровней компонент, которые дают наиболее желательный состав ткани в терминах 4 результирующих критериев.

План и кодирование переменных. Derringer и Suich (1980) использовали центральный композиционный план для исследования эффекта истирания компонент одежды на основе желательности продукта. Как показано ниже, отклики 4 зависимых переменных находятся в первых 4 столбцах. Уровни 3 независимых переменных занимают 3 столбца и уже перекодированы по следующим формулам: SILICA = ( phr silica -1.2 ) / 0.5; SILANE = ( phr silane - 50 ) / 10; SULFUR = ( phr sulfur - 2.3 ) / 0.5;

Рисунок 4. Таблица кодирования переменных.

Спецификация плана и подгонка модели поверхности отклика. Анализ этих данных начинается таким же образом, как и для любого центрального композиционного плана. Данный план является стандартным ротатабельным центральным композиционным планом с тремя переменными, 6 центральными точками и со стандартным кодированием независимых переменных (таким образом, перешкалирование независимых переменных не требуется).

Derringer и Suich (1980) подгоняли отклики зависимых переменных к полиномиальной модели поверхности отклика второго порядка.

Рисунок 5. Таблица данных модели поверхности отклика.

Это регрессионные коэффициенты, используемые при вычислении предсказанных значений зависимых переменных при различных комбинациях уровней независимых переменных.

Профиль отклика/функции желательности

Задание функций желательности. Так как мы хотим отобразить как предсказанные отклики зависимых переменных, так и общую желательность отклика, первым шагом будет задание функции желательности для каждой зависимой переменной. После того как спецификации введены, их можно сохранить.

Отображение предсказанных откликов и желательности отклика. Просмотрите теперь составной график профилей отклика, использующий средние факторов в качестве принятых по умолчанию текущих значений для каждой предикторной переменной и 4 шага от наблюдаемого минимума до наблюдаемого максимума для определения по умолчанию 5 точек сетки для каждого фактора. Показан профиль предсказания для каждой зависимой переменной, состоящий из серий графиков, по одному для каждой независимой переменной, из предсказанных значений для зависимой переменной в каждой точке сетки независимой переменной, при уровнях всех других независимых переменных, равных константе на их текущих значениях. По умолчанию также показываются доверительные интервалы для предсказанных значений. Выдаются графики функций желательности для каждой зависимой переменной и серии графиков, по одному для каждой независимой переменной, показывают профили общей желательности отклика в каждой точке сетки независимой переменной, при уровнях всех других независимых переменных, равных константе на их текущих значениях. Значение общей желательности, равное .17956, говорит о том, что средние значения компонент состава ткани не дают очень желательный состав ткани, но профиль общей желательности отклика также показывает, что уровень Sulfur меньше, чем его среднее может дать более желательный продукт.

Поиск уровней компонент, которые дают наиболее желательный продукт, может быть проведен. Результаты, представленные в составном графике профилей отклика, показывают, что желательность улучшилась при установке факторов на уровни, отличные от их средних значений. Общая значение желательности равно .5833 при установке факторов Silica, Silane и Sulfur на уровни -.0515, .1505 и -.8668 соответственно. Derringer и Suich (1980) получили значение общей желательности .583 при значениях факторов Silica, Silane и Sulfur, равных -.050, .145 и -.868 соответственно, используя программу поиска FORTRAN, только лишь коротко описанную в их статье.

Поверхностные и контурные графики полезны для интерпретации эффектов общей желательности отклика при различных комбинациях уровней каждой пары независимых переменных, когда значения независимых переменных остаются на их текущих значениях. Все графики показывают, что поверхность относительно плоская вблизи максимума, что означает, что малое отклонение от оптимальных установок независимых переменных не уменьшило бы заметно желательность продукта. В более широком смысле, эти особенности графиков могут помочь в распознавании факторов, которые "инертны" и "активны" по отношению к другим факторам. Для "инертных" ингредиентов поверхности или контуры желательности "плоские" по отношению к "инертным" ингредиентам. Поверхности или контуры желательности изменяются на различных уровнях "активного" ингредиента.

Выводы. В этом примере показано, как одновременно оптимизировать несколько переменных отклика в центральном композиционном плане. Те же основные процедуры используются при нахождении уровней предикторных переменных, которые оптимизируют общую желательность отклика в других типах планов: (1) подгонка наблюдаемых характеристик продукта с использованием подходящего уравнения предсказания, основанного на уровнях факторов, и (2) нахождение уровней факторов, которые одновременно дают наиболее желательные предсказанные характеристики продукта.