Гнездовой план ДА

Гнездовой план Дисперсионного Анализа

Гнездовые планы похожи на дробные факторные планы, в которых представлены не все возможные комбинации уровней категориальных предикторов. В гнездовых планах пропущенные эффекты являются эффектами низкого порядка. Вложенные эффекты - это эффекты, в которых вложенные переменные никогда не появляются в качестве главных эффектов. Предположим, что для 2 переменных A и B с 3 и 2 уровнями, соответственно, план содержит главный эффект для A и эффект для B, вложенный в эффект A. Матрица плана X для этого плана, при использовании сверхпараметризованной модели имеет вид

Отметим, что, если используется сигма-ограниченное кодирование, то в матрице плана X будет только 2 столбца для вложения эффекта B в эффект A вместе 5 столбцов, как в предыдущем случае. Применение сигма-ограниченного кодирования для гнездовых планов сильно ограничено, поэтому для представления таких планов используется только сверхпараметризованная модель.

Пример: План смешанной модели гнездового Дисперсионного Анализа.

Этот пример иллюстрирует ДА и оценку компонент дисперсии для гнездового плана случайных эффектов. В отличие от полнофакторных планов, в которых встречаются все комбинации всех уровней каждого фактора, в гнездовых планах происходит так: каждый уровень вложенного фактора находится только в одном уровне фактора, в который он вложен. Рассмотрим, например, студентов, у которых есть только один учитель в классе, и учителей, которые преподают только в одной школе. При соотнесении дисперсии школам, учителям и студентам, фактор студента будет вложен в фактор учителя, который в свою очередь будет вложен в фактор школы. План имеет иерархическую вложенность, т.к. это иерархия вложенных факторов.

Пример использует вымышленные данные с тремя независимыми переменными A, B и C (закодированных двумя различными способами, как описано выше) и одной зависимой переменной Y. Все три фактора рассматриваются как имеющие случайные эффекты, Фактор C вложен в Фактор B, который в свою очередь вложен внутрь Фактора A, что делает план иерархически вложенным планом случайных эффектов.

Рисунок 1. Таблица исходных данных.

В таблице данных B1 и C1 закодированы значениями, идентифицирующими последовательно все уровни вложенных факторов B и C, соответственно B2 и C2 закодированы значениями, идентифицирующими уровни внутри других факторов, в которые вложены B и C. A1 и A2 закодированы одинаково. Следовательно два набора факторов представляют только различные кодировки уровней вложенных факторов. Вначале мы выполним ДА и оценим компоненты дисперсии для факторов гнездового плана случайных эффектов с помощью переменных A1, B1 и C1. При этом мы воспользуемся суммой квадратов типа III. Эта сумма квадратов проверяет гипотезу для факторных планов ДА с различным количеством наблюдений в ячейках, при условии, что в каждой ячейке существует хотя бы одной наблюдение. Для планов без пустых ячеек сумма квадратов типа III проверяет гипотезу о разностях маргинальных средних. Если в планах нет пустых ячеек, то такие средние являются средними наименьших квадратов, то есть наилучшими линейными несмещенными оценками маргинальных средних для этих планов (см. Milliken and Johnson, 1986).

Результаты.

Оценки компонент дисперсии III типа и ДА.

Рисунок 2. Таблица с оценками компонент дисперсии для Y.

Рисунок 3. Итоговая таблица для смешанной модели ДА.

Выполнив тот же самый анализ с категориальными предикторами A2, B2 и C2 мы найдем, что результаты совпадают с результатами для переменных A1, B1 и C1.

Вывод. На этом примере было показано, как оценивать компоненты дисперсии для иерархически гнездовых случайных планов. Были показаны два метода кодирования вложенных факторов. Результаты обоих методов совпали и указывают на то, что случайные факторы не делают значимого вклада в дисперсию зависимой переменной.