Советник по прогнозированию

Экспоненциальное сглаживание

Общее введение

Экспоненциальное сглаживание очень популярный метод прогнозирования очень многих временных рядов. Исторически метод был независимо открыт Броуном и Холтом. Броун служил на флоте США во время второй мировой войны, где занимался обнаружением подводных лодок и системами наведения. Позже он применил открытый им метод для прогнозирования спроса на запасные части. Свои идеи он описал в книге, вышедшей в свет в 1959 году. Исследования Холта были поддержаны Департаментом военно-морского флота США. Независимо друг от друга, Броун и Холт открыли экспоненциальное сглаживание для процессов с постоянным трендом, с линейным трендом и для рядов с сезонной составляющей.

Простое экспоненциальное сглаживание

Простая и прагматически ясная модель временного ряда имеет следующий вид:

где b константа и случайная ошибка. Константа b относительно стабильна на каждом временном интервале, но может также медленно изменяться со временем. Один из интуитивно ясных способов выделения b состоит в том, чтобы использовать сглаживание скользящим средним, в котором последним наблюдениям приписываются большие веса, чем предпоследним, предпоследним большие веса, чем пред-предпоследним и т.д. Простое экспоненциальное именно так и устроено. Здесь более старым наблюдениям приписываются экспоненциально убывающие веса, при этом, в отличие от скользящего среднего, учитываются все предшествующие наблюдения ряда, а не те, что попали в определенное окно. Точная формула простого экспоненциального сглаживания имеет вид:

Когда эта формула применяется рекурсивно, то каждое новое сглаженное значение (которое является также прогнозом) вычисляется как взвешенное среднее текущего наблюдения и сглаженного ряда. Очевидно, результат сглаживания зависит от параметра (альфа). Если равно 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если равно 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения между 0, 1 дают промежуточные результаты. Эмпирические исследования показали, что весьма часто простое экспоненциальное сглаживание дает достаточно точный прогноз.

Обсудим различные теоретические и эмпирические аргументы в пользу выбора определенного параметра сглаживания. Очевидно, из формулы, приведенной выше, следует, что должно попадать в интервал между 0 (нулем) и 1 (хотя для дальнейшего применения анализа АРПСС считают, что 0<<2). На практике обычно рекомендуется брать меньше 0.30. Однако больше 0.30 часто дает лучший прогноз. Вывод: лучше оценивать оптимально по данным, чем просто гадать или использовать искусственные рекомендации.

На практике параметр сглаживания часто ищется с поиском на сетке. Возможные значения параметра разбиваются сеткой с определенным шагом. Например, рассматривается сетка значений от = 0.1 до = 0.9, с шагом 0.1. Затем выбирается , для которого сумма квадратов (или средних квадратов) остатков (наблюдаемые значения минус прогнозы на шаг вперед) является минимальной. Модуль Временные ряды предоставляет опцию для выполнения поиска на сетке, a также позволяет пользователю автоматически находить лучший параметр a с помощью процедуры минимизации.

Пример

Данные представляют собой ежемесячное количество пассажиров (в тысячах), перевезенных американскими международными авиалиниями в 1949-1960 годах. Ниже показана часть этого ряда:

Рисунок 1. Файл данных.

Анализ с помощью АРПСС требует предварительной работы по идентификации модели. Требуется много экспериментов, чтобы найти удовлетворительную модель. Часто цель АРПСС состоит только в построении прогноза, объяснение природы модели (интерпретация числа и типов параметров) представляет второстепенный интерес. В этих случаях экспоненциальное сглаживание является альтернативной, более легкой процедурой, дающей прогноз сопоставимого качества.

В этом примере мы используем те же данные, что в модели АРПСС (Пример) и затем сравним прогнозы.

Окончательные результаты.

Сравним прогноз, построенный с помощью экспоненциального сглаживания, с прогнозом модели АРПСС. Для этого проведем анализ с помощью АРПСС, как описано в Примере раздела АРПСС. После завершения анализа модели АРПСС построим график экспоненциально сглаженного ряда вместе с исходным и прогнозом АРПСС.

Рисунок 2. График экспоненциально сглаженного ряда вместе с исходным и прогнозом АРПСС.

Построим график прогнозов только на 12 месяцев.

Рисунок 3. Прогноз, построенный с помощью экспоненциального сглаживания, и прогноз модели АРПСС.

Очевидно, имеется лишь небольшое различие в двух графиках.