Советник по прогнозированию

Классическая сезонная декомпозиция (Метод Census I)

Общее введение

Предположим, что у Вас имеются ежемесячные данные о пассажиропотоке на международных авиалиниях за 12 лет. Если изобразить эти данные на графике, то будет хорошо видно, что
1) объем пассажиропотока имеет во времени возрастающий линейный тренд, и что
2) в ряде имеется ежегодно повторяющаяся закономерность - сезонность (большинство перевозок приходится на летние месяцы, кроме того, имеется пик меньшей высоты в районе декабрьских каникул). Цель сезонной декомпозиции и корректировки как раз и состоит в том, чтобы отделить эти компоненты, то есть разложить ряд на составляющую тренда, сезонную компоненту и оставшуюся нерегулярную составляющую. Классический прием, позволяющий выполнить такую декомпозицию, известен как метод Census I.

Общий вид модели

Основная идея сезонной декомпозиции проста. В общем случае временной ряд типа того, который описан выше, можно представить себе состоящим из четырех различных компонент:
1) Сезонной компоненты (обозначается , где t обозначает момент времени),
2) тренда (),
3) циклической компоненты (),
4) случайной, нерегулярной компоненты или флуктуации ().

Разница между циклической и сезонной компонентой состоит в том, что последняя имеет регулярную (сезонную) периодичность, тогда как циклические факторы обычно имеют более длительный эффект, который к тому же меняется от цикла к циклу. В методе Census I тренд и циклическую компоненту обычно объединяют в одну тренд-циклическую компоненту (T ). Конкретные функциональные взаимосвязи между этими компонентами могут иметь самый разный вид. Однако, можно выделить два основных способа, с помощью которых они могут взаимодействовать: аддитивно и мультипликативно.

Аддитивная модель:

Мультипликативная модель:

Здесь обозначает значение временного ряда в момент времени t. Если имеются какие-то априорные сведения о циклических факторах, влияющих на ряд (например, циклы деловой конъюнктуры), то можно использовать оценки для различных компонент для составления прогноза будущих значений ряда. (Однако для прогнозирования предпочтительнее Экспоненциальное сглаживание, позволяющее учитывать сезонную составляющую и тренд.)

Аддитивная и мультипликативная сезонность. Рассмотрим на примере различие между аддитивной и мультипликативной сезонными компонентами. График объема продаж детских игрушек, вероятно, будет иметь ежегодный пик в ноябре-декабре, и другой - существенно меньший по высоте - в летние месяцы, приходящийся на каникулы. Такая сезонная закономерность будет повторяться каждый год. По своей природе сезонная компонента может быть аддитивной или мультипликативной. Так, например, каждый год объем продаж некоторой конкретной игрушки может увеличиваться в декабре на 3 миллиона долларов. Поэтому вы можете учесть эти сезонные изменения, прибавляя к своему прогнозу на декабрь 3 миллиона. Здесь мы имеем аддитивную сезонность. Может получиться иначе. В декабре объем продаж некоторой игрушки может увеличиваться на 40%, то есть умножаться на множитель 1.4. Это значит, например, что если средний объем продаж этой игрушки невелик, то абсолютное (в денежном выражении) увеличение этого объема в декабре также будет относительно небольшим (но в процентном исчислении оно будет постоянным); если же игрушка продается хорошо, то и абсолютный (в долларах) рост объема продаж будет значительным. Здесь опять, объем продаж возрастает в число раз, равное определенному множителю, а сезонная компонента, по своей природе, мультипликативная компонента (в данном случае равная 1.4). Если перейти к графикам временных рядов, то различие между этими двумя видами сезонности будет проявляться так: в аддитивном случае ряд будет иметь постоянные сезонные колебания, величина которых не зависит от общего уровня значений ряда; в мультипликативном случае величина сезонных колебаний будет меняться в зависимости от общего уровня значений ряда.

Аддитивные и мультипликативные тренд-циклы. Рассмотренный пример можно расширить, чтобы проиллюстрировать понятия аддитивной и мультипликативной тренд-циклических компонент. В случае с игрушками, тренд моды может привести к устойчивому росту продаж (например, это может быть общий тренд в сторону игрушек образовательной направленности). Как и сезонная компонента, этот тренд может быть по своей природе аддитивным (продажи ежегодно увеличиваются на 3 миллиона долларов) или мультипликативным (продажи ежегодно увеличиваются на 30%, или возрастают в 1.3 раза). Кроме того, объем продаж может содержать циклические компоненты. Повторим еще раз, что циклическая компонента отличается от сезонной тем, что она обычно имеет большую временную протяженность и проявляется через неравные промежутки времени. Так, например, некоторая игрушка может быть особенно горячей в течение летнего сезона (например, кукла, изображающая персонаж популярного мультфильма, которая к тому же агрессивно рекламируется). Как и в предыдущих случаях, такая циклическая компонента может изменять объем продаж аддитивно, либо мультипликативно.

Пример

Этот пример основан на данных об объеме продаж в розничной торговой сети в США за период с 1953 по 1964 год. В данном примере для анализа этого ряда мы будем использовать метод сезонной декомпозиции Census I; о результатах применения метода декомпозиции Census II см. в разделе Сезонная корректировка X-11 (метод Census II - Пример).

Файл данных. Ниже показан фрагмент данного ряда (следует иметь в виду, что эти числа не совпадают непосредственно с официально опубликованными данными об объеме розничных продаж).

Рисунок 1. Файл данных.

Просмотр результатов.

Рисунок 2. График розничных продаж.

График розничных продаж имеет восходящий тренд и отчетливые сезонные колебания. Как уже говорилось, цель сезонной декомпозиции состоит в том, чтобы получить оценки сезонной, тренд/циклической и нерегулярной компонент ряда. Сезонная компонента используется для получения ряда с сезонной поправкой, т.е. для оценки ряда после того, как из него будут удалены сезонные колебания.

Рисунок 3. Cезонная изменчивость.

Мы видим устойчивый рисунок сезонной изменчивости, присущей данному ряду. С помощью этой сезонной составляющей мы можем скорректировать исходный ряд (т.е. вычесть ее из исходного ряда в случае аддитивной модели или разделить значения исходного ряда на значения сезонной составляющей для мультипликативной модели).

Рисунок 4. Скорректированный ряд сезонных колебаний.

Видно, что скорректированный ряд больше не содержит сезонных колебаний. После этого можно сгладить полученный ряд, с тем, чтобы убрать пока остающиеся в нем случайные (нерегулярные) колебания.

Результат сглаживания ряда с сезонной поправкой есть его тренд-циклическая компонента, ибо она показывает общий тренд и циклы, присутствующие в ряде (циклическая компонента отличается от сезонной компоненты тем, что циклы, как правило, имеют продолжительность больше одного сезона и не имеют постоянного периода). На следующем рисунке показаны графики тренд-циклической составляющей и ряда с сезонной поправкой.

Рисунок 5. Графики тренд-циклической составляющей и ряда с сезонной поправкой.

Наконец, просмотрим нерегулярную составляющую, содержащую остаточные колебания ряда.

Рисунок 6. Исходный ряд, ряд с сезонной поправкой и нерегулярная составляющая.